El horario de atención es entre las 11 y 14 hrs. de Lunes a Viernes. Traer la guía resuelta al Colegio Tecno Sur para su evaluación. NO se revisarán guías incompletas.
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"¿Por qué contentarnos con vivir a rastras cuando sentimos el anhelo de volar?"
Helen Adams Keller (1880-1968) Escritora y conferenciante estadounidense
FECHA DE ENTREGA: JUEVES 27-10-2011 ENTRE LAS 9 Y 14 HRS.
UNIDAD DE APRENDIZAJE :GEOMETRIA
Aprendizajes esperados: Transformar unidades metricas, volumen, peso y aplicarlas a la solución de problemas.
Repase los contenidos y resuelva la guia, indique el desarrollo y la alternativa .
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OBSERVACION:
ENTREGAR GUIA Nº7 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE MATEMATICA EL DIA 12 -10-2011 EN EL COLEGIO TECNO SUR.
LICEO POLIVALENTE MUNICIPAL FRANCISCO FRIAS VALENZUELA
Departamento Matemática
MATERIA ESTADÍSTICA
Rama de las matemáticas aplicadas, que estudia los hechos económicos, sociales y físicos a base de datos numéricos; entre las estadísticas más antiguas cuentan los censos de población, el cálculo de ganados y cosechas, etc.
La estadística es una ciencia, pues aplica el Método Científico al ocuparse de la toma, organización, recopilación y análisis de datos, tanto para la deducción de conclusiones, para la toma de decisiones razonables de acuerdo a tales análisis.
Población: Se le llama población o universo, al conjunto total de individuos u objetos que se desean investigar.
Muestra: Es un grupo de una población. Se utiliza cuando la población es muy numerosa, infinita o muy difícil de examinar.
Estadística Descriptiva: Es la parte de la estadística que trata solamente de describir y analizar un grupo dado sin sacar conclusiones o inferencias de un grupo mayor, a partir de ella. La estadística descriptiva incluye las técnicas que se relacionan con el resumen y la descripción de datos numéricos. Estos datos pueden ser gráficos o pueden incluir análisis computacional.
Estadística Inferencial: Cuando una muestra es representativa de una población se pueden deducir importantes conclusiones acerca de esta, a partir de su análisis. La inferencia estadística comprende aquellas técnicas por medio de las cuales se toma decisiones sobre una población estadística basadas solo en la muestra observada. Debido a que dichas decisiones se toman en condiciones de incertidumbre, entonces estas serán confiables con cierto grado de probabilidad. Considerando que las características medidas de una muestra se denominan estadísticas de la muestra, las características medidas de una población estadística, o universo se llaman parámetros de la población.
ANALISIS ESTADISTICO
Distribución de Frecuencias: Las distribuciones de frecuencias, son series estadísticas ordenadas por intervalos de clases, y por lo tanto, corresponden a la clasificación de grupo de datos, de acuerdo a una característica cuantitativa.
Esta distribuciones se elaboran cuando se tiene una masa de datos, para reducirla a grupos homogéneos y poco numerosos, con fines de descripción, análisis y obtención de indicadores.
Serie simple o arreglo: Es un simple listado de la información obtenida de una fuente de datos.
Ejemplo: Sueldos mensuales, en pesos, pagados a 20 trabajadores de una empresa, ordenados en forma ascendente:
210.000 – 250.000 – 250.000 – 280.000 – 280.000 – 300.000 – 300.000 – 350.000 – 350.000 – 400.000 – 400.000 – 450.000 – 450.000 – 500.000 – 550.000 – 550.000 – 600.000 – 600.000 – 700.000 – 750.000
Como el sueldo es mínimo es $210.000 y el máximo $750.000, el Rango de los salarios es: 750.000 – 210.000 igual a $540.000.
Como esta tabla no permite tener una idea de la distribución de los sueldos, hay que clasificarlos en un cuadro de frecuencias.
Tabla de frecuencias sin clase (datos no agrupados):
Los datos de la tabla anterior se pueden resumir, al registrarse el número de trabajadores, de acuerdo a su sueldo.
Sueldo ($)
|
Número de Obreros (Frecuencias)
|
210.000
|
1
|
250.000
|
2
|
280.000
|
2
|
300.000
|
2
|
350.000
|
2
|
400.000
|
2
|
450.000
|
2
|
500.000
|
1
|
550.000
|
2
|
600.000
|
2
|
700.000
|
1
|
750.000
|
1
|
Tabla de frecuencias con clase (con datos agrupados):
Para ello debemos considerar cada intervalo con límites cerrado y abierto, o sea [210.000,300.000[
La tabla siguiente la vamos a elaborar con frecuencias absolutas, estas frecuencias son las que se obtienen directamente del conteo, pero, también incorporaremos las frecuencias relativas que corresponden a los porcentajes de cada frecuencia absoluta, en este caso, se determina con respecto al total de trabajadores (20).
También incorporaremos a la tabla la frecuencia absoluta acumulada que corresponde a la frecuencia absoluta del intervalo más la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores y la frecuencia relativa acumulada que corresponde al porcentaje de la frecuencia relativa del intervalo más la suma de las frecuencias relativas de todos los valores anteriores.
La marca de clase corresponde al valor medio de cada intervalo.
Sueldo ($)
|
Marca de Clase
|
recuencia Absoluta
|
Frecuencia Relativa %
|
Frecuencia Absoluta Acumulada
|
Frecuencia Relativa Acumulada %
|
200.000 – 300.000
|
250.000
|
5
|
25
|
5
|
25
|
300.000 – 400.000
|
350.000
|
4
|
20
|
9
|
45
|
400.000 – 500.000
|
450.000
|
4
|
20
|
13
|
65
|
500.000 – 600.000
|
550.000
|
3
|
15
|
16
|
80
|
600.000 – 700.000
|
650.000
|
2
|
10
|
18
|
90
|
700.000 – 800.000
|
750.000
|
2
|
10
|
20
|
100
|
OJO: LA GUÍA Nº1 DEBE SER ENTREGADA EL MARTES 06-09-2011 DESDE LAS 11 HASTA LAS 16 HORAS.
LICEO POLIVALENTE MUNICIPAL FRANCISCO FRIAS VALENZUELA
Depto. de Matemática.
GUIA Nº 1 ESTADÍSTICA
1. Determina si los siguientes datos estadísticos son cualitativos (CL) o cuantitativos (CT).
a. El peso de las cartas en el correo. _______
b. Medio de transporte utilizado para ir al trabajo _______
c. El número de canciones de un disco compacto _______
d. El número de días que llueve en un mes del año. _______
e. La temperatura al amanecer en Punta Arenas _______
f. El color de un edificio _______
g. La cantidad de lluvia caída en una estación del año en la Región ________
h. Puntaje obtenido en la PSU _______
i. La religión de cada persona _______
j. El largo de una falda _______
k. La edad mínima para poder votar ______
l. El tiempo de música en un disco compacto _______
m. Profesiones de un grupo de personas. _______
2. Menciona dos variables que proporcionen información sobre los clientes de una barraca de fierros.
a) ______________________________________
b) ______________________________________
3. El número de goles en 20 partidos de primera y segunda división correspondientes a la jornada del 3 de Abril de 2011 tuvo la distribución siguiente:
2 4 0 3 2 1 5 1 2 2
3 1 3 1 5 2 3 3 4 1
Completa la siguiente tabla:
Número
de goles
(Yi)
|
Frecuencia
Absoluta
(fi)
|
Frecuencia Relativa
(hi)
|
Frecuencia absoluta Acumulada (Fi)
|
Frecuencia Relativa Acumulada (Hi)
|
Frecuencia Relativa Porcentual
(%)
|
Totales
|
n=
|
=
|
-------
|
---------
|
=
|
Según los valores obtenidos responde:
a) Determina la población
b) Determina la muestra.
c) ¿Cuál es la variable en estudio?
d) ¿En cuántos partidos se convirtieron 3 goles?
e) ¿Qué porcentaje de partidos se anotaron 5 o más goles?
f) ¿En cuántos partidos se convirtieron 2 o menos goles?
g) ¿Qué significa:
f4=
F3=
h1=
4. Una encuesta realizada a los alumnos de tercer año de un Instituto Profesional de Santiago, ofrece los siguientes resultados acerca del interés por la lectura a lo largo de un año:
N° libros leídos (Yi)
|
fi
|
hi
|
Fi
|
Hi
|
%
|
0
|
64
| ||||
1
|
135
| ||||
2
|
217
| ||||
3
|
312
| ||||
4
|
85
| ||||
5
|
43
| ||||
6
|
13
| ||||
Totales
|
n=
|
=
|
=
|
a) Determine la población
b) Determine la muestra
c) ¿Cuál es la variable en estudio?
d) ¿Cuántos alumnos han leído dos libros o menos?
e) ¿Qué porcentaje de alumnos ha leído 6 libros?
f) ¿Qué porcentaje de alumnos ha leído más de 5 libros?
h) ¿Qué significa:
f2=
F4=
h6=
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LICEO POLIVALENTE MUNICIPAL FRANCISCO FRIAS VALENZUELA
Departamento Matemática
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Una empresaria entrevista a un candidato para el puesto de operario en su fábrica. Le ofrece $15.000 semanales, pero le advierte que sólo será por un período de prueba ya que luego su sueldo será mayor. “Aquí pagamos bien. El salario medio es de $60.000 semanales” dice el empresaria.
Luego de 4 días de trabajo, el operario vuelve donde su jefa y le dice: “Usted me ha engañado. He preguntado a todos los operarios y ninguno gana más de $20.000 semanales. ¿Por qué me dijo que el salario era de $60.000?”
La jefa le responde: “Yo no lo he engañado. Tome la nómina semanal y calcule: Yo gano $480.000; el segundo jefe: $200.000; los seis empleados $50.000 cada uno; los cinco capataces $40.000 y los diez operarios $20.000 cada uno.
La nómina semanal suma $1.380.000 y como hay 23 personas recibiendo el salario 1.380.000 : 23 = 60.000 el promedio de los salarios es de $60.000. ¿O me equivoco?.
José, el operario, le responde “Está bien! Pero aún así me ha engañado.”
La jefa le responde: “Pude ir diciéndole los salarios por orden; y el salario medio sería $40.000. Pero eso no es la media sino la mediana.”
“ ¿Y qué significan entonces los $20.000?” pregunta José.
La jefa responde: “Eso representa la moda. Es el salario ganado por el mayor número de personas... pero yo hable de media, no de moda.”
PROMEDIO, MODA, MEDIANA
Estos números se ubican en la parte central de una distribución de datos y se llaman medidas de tendencia central y son promedio, la moda y la mediana.
A) El Promedio o media aritmética de “n” datos numéricos es el cuociente entre la suma total de estos, dividida por “n”
ü Si las notas son iguales, ¿Qué sucede con el promedio?.
ü Si tuviésemos 5 notas en total y una de ellas es muy baja respecto a las otras cuatro, ¿Cómo influye esta nota en el promedio?.
ü Si las notas fuesen 10 en total, ¿la nota baja influiría de la misma forma?
ü Durante una semana de vacaciones la asistencia de jóvenes a una discoteca ha sido la siguiente:
Día
|
Jóvenes
|
Lunes
|
57
|
Martes
|
72
|
Miércoles
|
65
|
Jueves
|
89
|
Viernes
|
348
|
Sábado
|
461
|
Domingo
|
49
|
Al calcular el promedio de una muestra con gran número de datos, podemos ahorrar tiempo si tenemos los datos ordenados y calculadas las frecuencias correspondientes.
Ejemplo, los siguientes datos corresponden a los kilómetros recorridos por los ciclistas participantes en una competencia nacional, durante el entrenamiento:
KILÓMETROS RECORRIDOS
750
|
700
|
660
|
660
|
660
|
700
|
750
|
570
|
700
|
800
|
700
|
880
|
800
|
700
|
880
|
480
|
660
|
880
|
780
|
750
|
480
|
480
|
800
|
660
|
750
|
800
|
800
|
700
|
660
|
800
|
660
|
480
|
700
|
570
|
570
|
750
|
480
|
750
|
740
|
660
|
800
|
820
|
750
|
570
|
480
|
700
|
750
|
700
|
800
|
880
|
660
|
820
|
Organizar la información en la siguiente tabla de frecuencias y calcular promedio.
Nº de Km.
| fi |
880
| |
820
| |
800
| |
780
| |
750
| |
700
| |
660
| |
570
| |
480
|
b) La Moda de una muestra de datos es aquel que presenta la mayor frecuencia.
Se sugiere recordar a sus estudiantes que la moda se aplica para describir una distribución, si se quiere obtener información sobre el punto donde mayor concentración de datos. Recuérdeles también que es posible tener dos modas y que no es necesario hacer cálculos para encontrarla.
Es importante que los estudiantes sepan reconocer el aporte estadístico de las medidas de centralización.
ü En una supuesta investigación estadística se han recogido los siguientes datos acerca de las preferencias televisivas de los jóvenes:
¿Cuál es la moda de la muestra?
¿Tiene sentido calcular la media en la muestra?
Prefieren:
|
Nº de Jóvenes
|
Películas
|
9.000
|
Informativos Culturales
|
15.000
|
Musicales
|
10.000
|
Teleseries
|
38.000
|
Deportivos
|
21.000
|
Otro tipo
|
7.000
|
ü En un país centroamericano se entrevistaron a 120 estudiantes para averiguar el tipo de baile que preferían. El 35% de los jóvenes eligió el merengue, 30 estudiantes eligieron baile moderno, la octava parte dijo preferir salsa y el resto se inclinó por la cumbia.
¿Cuál es la moda en la encuesta?
Realiza la misma encuesta en tu curso y compara los resultados. ¿La moda es la misma?
ü Para elegir el representante del curso al Centro de alumnos se presentan 4 candidatos:
|
Candidato
|
fi (votos)
| Fa |
Javiera
|
17
|
17
|
Hans
|
13
|
30
|
Dieter
|
6
|
36
|
Gertie
|
4
|
40
|
c) En un conjunto de datos numéricos ordenados en forma creciente o decreciente, la mediana es el dato que se encuentra en el centro de la ordenación.
Si el número de elementos de la ordenación es par, la mediana es la media aritmética de los datos centrales.
En una tabla de datos presentados en intervalos deberemos usar la marca de clases para hacer la ordenación y encontrar la mediana de la muestra.
En la tabla siguiente aparecen la acciones más transadas durante la tercera semana del mes de octubre de 1996, según información del diario “El Mercurio”. Determinar la mediana de los precios.
Acciones más transadas
|
Precio al cierre ($)
|
Variación (%)
|
ENDESA
|
257,00
|
-0,68
|
CTC – A
|
2445,00
|
0,20
|
ENERSIS
|
246,00
|
-0,90
|
CHILECTRA
|
2220,00
|
-0,89
|
CHILGENER
|
2420,00
|
-0,62
|
IANSA
|
102,75
|
-0,24
|
EMEC
|
52,50
|
-1,87
|
VAPORES
|
330,00
|
0,00
|
SOQUIMICH – B
|
2425,00
|
0,41
|
SANTANDER
|
26.50
|
-0,93
|
Ordenamos los precios en orden creciente. Como son 10 valores, buscaremos lo dos datos centrales:
26.50 - 52,50 - 102,75 - 246,00 - 257,00 - 330,00 - 2220,00 - 2420,00 - 2425,00 - 2445,00
Los dos precios centrales son 257,00 y 330,00 entonces la mediana es la media aritmética o promedio de ambos valores.
La mediana de la muestra es 293,50. Este es el precio que se encuentra al centro de la ordenación de los precios de las acciones consideradas.
Sería interesante que averiguar qué tipo de empresas son las que aparecen en la muestra.
Ejercicio
1. Un equipo de básquetbol ha obtenido los siguientes puntajes en un campeonato: 68 – 72 – 56 – 76 – 84 – 50 – 85 – 72 – 66 – 69 – 59
¿Cuál es la media aritmética de sus puntos? ¿Cuál es la mediana?
2. Si en la serie datos: 2-7-4-8-2-14-29, se cambia el 29 por 40, ¿cuál de las medidas (media, moda y mediana) se ve afectada?
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Definición de Probabilidadades 4 Medios
La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento.
Ejemplo: tiramos un dado al aire y queremos saber cual es la probabilidad de que salga un 2, o que salga un número par, o que salga un número menor que 4.
Ejemplos: lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o cruz, pero no sabemos de antemano cual de ellos va a salir.
En la Lotería de Navidad, el "Gordo" (en España se llama "Gordo" al primer premio) puede ser cualquier número entre el 1 y el 100.000, pero no sabemos a priori cual va a ser (si lo supiéramos no estaríamos aquí escribiendo esta lección).
Ejemplo: en lugar de tirar la moneda al aire, directamente selccionamos la cara. Aquí no podemos hablar de probabilidades, sino que ha sido un resultado determinado por uno mismo.
Antes de calcular las probabilidades de un experimento aleaotorio hay que definir una serie de conceptos:
Suceso elemental: hace referencia a cada una de las posibles soluciones que se pueden presentar.
Ejemplo: al lanzar una moneda al aire, los sucesos elementales son la cara y la cruz. Al lanzar un dado, los sucesos elementales son el 1, el 2, .., hasta el 6.
Ejemplo: lanzamos un dado y queremos que salga un número par. El suceso "numero par" es un suceso compuesto, integrado por 3 sucesos elementales: el 2, el 4 y el 6
O, por ejemplo, jugamos a la ruleta y queremos que salga "menor o igual que 18". Este es un suceso compuesto formado por 18 sucesos elementales (todos los números que van del 1 al 18).
Al conjunto de todos los posibles sucesos elementales lo denominamos espacio muestral. Cada experimento aleatorio tiene definido su espacio muestral (es decir, un conjunto con todas las soluciones posibles).
Ejemplo: si tiramos una moneda al aíre una sola vez, el espacio muestral será cara o cruz.
Si el experimento consiste en lanzar una moneda al aire dos veces, entonces el espacio muestral estaría formado por (cara-cara), (cara-cruz), (cruz-cara) y (cruz-cruz).
Probabilidad: Relación entre sucesos
Entre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones:
a) Un suceso puede estar contenido en otro: las posibles soluciones del primer suceso también lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene además otras soluciones suyas propias.
Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Vemos que el suceso a) está contenido en el suceso b).
Siempre que se da el suceso a) se da el suceso b), pero no al contrario. Por ejemplo, si el resultado fuera el 2, se cumpliría el suceso b), pero no el el a).
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Vemos que las soluciones coinciden en ambos casos.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par y b) que el resultado sea mayor que 3.
El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6
Ejemplo: lanzamos un dado al aire, y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 4. La intersección de estos dos sucesos tiene un sólo elemento, el número 6 (es el único resultado común a ambos sucesos: es mayor que 4 y es número par).
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6. Es evidente que ambos no se pueden dar al mismo tiempo.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. Vemos que si no se da el primero se tiene que dar el segundo (y viceversa).
Cálculo de probabilidades
El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero (al menos, si es un dado certificado por la OMD , "Organización Mundial de Dados").
El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).
El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.
P(A) = Casos favorables
Casos posibles
Veamos algunos ejemplos:
a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2:
caso favorable = uno (que salga el dos)
casos posibles = seis (puede salir cualquier número del uno al seis).
Por lo tanto:
P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo 0,166x100=16,6%)
b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par:
casos favorables = tres (que salga el dos, el cuatro o el seis)
casos posibles = seis.
Por lo tanto:
P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%)
c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto:
P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%)
d) Probabilidad de que nos toque el "Gordo" de Navidad: tan sólo un caso favorable, el número que jugamos (¡qué triste...¡), frente a 100.000 casos posibles. Por lo tanto:
P(A) = 1 / 100.000 = 0,00001 (o lo que es lo mismo, 0,001%)
Merece la pena ...... Por cierto, tiene la misma probabilidad el número 45.264, que el número 00001, pero ¿cuál de los dos comprarías?
Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos:
a) El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos posibles" el cociente siempre sería cero.
b) Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla.
A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades.
¿Y si el experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados, qué hacemos?, ¿ponemos una denuncia?No, no va a ser necesario denunciar a nadie, ya que en este caso podemos acudir a otro modelo de cálculo de probabilidades que se basa en la experiencia (modelo frecuentista):
Cuando se realiza un experimento aleatorio un número muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades.
Ejemplo: si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%.
Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no sería del 100%, sino que se habría reducido al 70%.
Si repito este experimento un número elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos sucesos según el modelo frecuentista.
En este modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito, ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad.
Ejemplo: si la moneda que utilizamos en el ejemplo anterior fuera defectuosa (o estuviera trucada), es posible que al repetir dicho experimento un número elevado de veces, la "cara" saliera con una frecuencia, por ejemplo, del 65% y la "cruz" del 35%. Estos valores serían las probabilidades de estos dos sucesos según el modelo frecuentista.
A esta definición de la probabilidad se le denomina probabilidad a posteriori, ya que tan sólo repitiendo un experimento un número elevado de veces podremos saber cual es la probabilidad de cada suceso.
Probabilidad de sucesos
Probabilidad de sucesos
Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cómo se refleja esto en el cálculo de probabilidades.
a) Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene.Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Dijimos que el suceso a) está contenido en el suceso b).
P(A) = 1/6 = 0,166
P(B) = 3 / 6 = 0,50
Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).
b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos.
P(A) = 3 / 6 = 0,50
P(B) = 3 / 6 = 0,50
P(A L B) = 2 / 6 = 0,33
P(A) = 3 / 6 = 0,50
P(B) = 3 / 6 = 0,50
P (A L B) = 2 / 6 = 0,33
Por lo tanto,
P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666
P(A) = 2 / 6 = 0,333
P(B) = 1 / 6 = 0,166
Por lo tanto,
P(A u B) = 0,33 + 0,166 = 0,50
Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un número par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un número impar.
La probabilidad del suceso (A) es igual a :
P(A) = 3 / 6 = 0,50
Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:
P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50
Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles":
P(B) = 3 / 6 = 0,50
g) Unión de sucesos complementarios: la probabilidad de la unión de dos sucesos complementarios es igual a 1.
Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:
P(A) = 3 / 6 = 0,50
P(B) = 3 / 6 = 0,50
Por lo tanto,
P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1
Por ejemplo, calcular las posibles combinaciones de 2 elementos que se pueden formar con los números 1, 2 y 3.
Se pueden establecer 3 parejas diferentes: (1,2), (1,3) y (2,3). En el cálculo de combinaciones las parejas (1,2) y (2,1) se consideran idénticas, por lo que sólo se cuentan una vez.
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MATERIA LOGARITMOS
Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a ¹ 0; a ¹ 1), y un número N positivo y no nulo (N > 0; N ¹ 0), se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número.
Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe:
logaN = x
y se lee «logaritmo en base a de N es igual a x».
Por lo tanto, logaN = x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N
(notación exponencial).
Notación logarítmica Notación exponencial
Log2 8 = 3 2 3 = 8
Log ½ 4 = -2 (1/2) -2 = 4
Consecuencias de la definición de logaritmo
1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: loga 1 = 0, ya que a0 = 1
2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: loga a = 1, ya que a1 = a
3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: loga am = m, ya que am = am
4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.
5. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es a>1.
Así, log3 9 = 2; ya que 32 = 9
6. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es a<1.
Así, log 1/5 25 = -2 ya que (1/5)-2 = 25
OJO: LA GUÍA LOGARITMO DEBE SER ENTREGADA EL MARTES 13-09-2011 DESDE LAS 11 HASTA LAS 16 HORAS.
